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Mecânica

Termodinâmica

Problema do dia

(4a.Edição, Ex.30, pág.182) (a) Provar que, se os comprimentos de duas barras de sólidos diferentes forem inversamente proporcionais aos respectivos coeficientes de dilatação linear, em certa temperatura inicial, a diferença de comprimentos entre elas será constante em todas as temperaturas. (b) Quais seriam os comprimentos de uma barra de aço e outra de latão, a 0oC, para que a diferença entre eles se mantivesse igual a 0,30m a todas as temperaturasa? R. (b) Aço, 71cm, latão, 41cm.

(a) À temperatura inicial, considere-se os comprimentos das duas barras dados por: L1o=N/a1 e L2o=N/a2, onde N é a constante de proporcionalidade.

Quando a temperatura varia de $ \Delta T $ tem-se:

$ L1o=N/a1 + N.\Delta T $ e $ L2o=N/a2 + N.\Delta T $

A diferença entre os comprimentos iniciais da barra é:

$ \Delta Lo = L1o - L2o = N/a1 = N/a2 = N (a1-a2)/(a1.a2) $

A diferença entre os comprimentos das barras quando a temperatura variou de $ \Delta T $ é:

$ \Delta L = L1-L2 = N/a1 + N.\Delta T - N/a2 - N.\Delta T $

$ = N (a1-a2)/(a1.a2) $

$ = \Delta Lo $

(b) Sendo $ \Delta $ Lo=0.30m e os valores dos coefiecientes de expansão do aço e do latão dados por:

$ a2 = a aco = 11.10^{-6 o}C^{-1} $

e

$ a1 = a lat = 19.10^{-6 o}C^{-1} $

obtemos,

$ N = (a1-a2)/(a1.a2.\Delta Lo) = 7,84.10^{-6}. $

Portanto,

$ L1o = (7,84.10^{-6})/(19.10^{-6} ) = 0,4125m $ $ L2o = (7,84.10^{-6})/(11.10^{-6} ) = 0,7125m $

Donde, $ \Delta Lo = L1o - L2o = 0,30m. $