FANDOM


Linques ExternosEditar

  • Harmonux 0.1.4 (Linux e Windows) - Análise Harmônica com gráfico - [1]

Determinação dos coeficientes de uma série trigonométricaEditar

Suponhamos que a função f(x) de uma variável real independente x, definida no intervalo (-π, +π), possa ser representada por uma série trigonométrica, “uniformemente convergente” em todos os seus pontos de definição, isto é:

f(x) = a0/2 + ∑ (an cos nx + bn sen nx)                      (1)
             n = 1,2,3,...

As funções uniformes no intervalo (-π,+π) ou (0,2π), contínuas ou com número finito de descontinuidades finitas e que não tenham número infinito de máximos e mínimos no intervalo considerado podem ser desenvolvíveis em séries deste tipo. As funções encontradas em problemas práticos geralmente satisfazem estas condições. (Se x0 é um ponto de descontinuidade finita da função, a série dá para este ponto o valor médio.)

O cálculo do coeficiente an, do termo geral em cosseno, é obtido multiplicando-se ambos os membros de (1) por cos nx dx e integrando-se entre os limites –π e +π. Assim:

 +π                         +π                +π                +π
 ∫ f(x) cos nx dx =   a0/2. ∫ cos nx dx +  an ∫ cos² nx dx + bn ∫ sen nx . cos nx dx 
-π                         -π                -π                -π
                 = 0 + an.π  + 0
                 = an.π

Logo:

           +π
an = (1/π).∫ f(x) cos nx dx
          -π

obs:

se m≠n sen mx cos nx = ½ [sen (m+n) x + sen (m-n) x] e, portanto, a integral indefinida será: - ½ [ (cos (m+n)x)/(m+n) + (cos (m-n)x)/(m-n)] o que permite constatar que a integral definida (-π,+π) é nula.

se m=n sem nx cos nx = ½ sen 2nx e a integral indefinida será -(1/2) (cos 2nx)/2n que é nula no intervalo (-π,+π).


Analogamente, multiplicando-se ambos os membros de (1) por sen nx dx e integrando-se, obtemos:

           +π
bn = (1/π).∫ f(x) sen nx dx
          -π

Numericamente estes termos podem ser calculados assim:

an = (1/π). Δx Σ (f(x).cos nx)
               n = 1,2,3,...
bn = (1/π). Δx Σ (f(x).sen nx)
               n = 1,2,3,...
onde:
Δx = 2π/N   (os intervalos Δx são iguais portanto, e em radianos)
(1/π)Δx = Δx/π = (2π/N)/π = 2/N
N = Número de intervalos correspondentes a um comprimento de onda.

Portanto:

an = (2/N). Σ (f(x).cos nx)
               n = 1,2,3,...
bn = (2/N). Σ (f(x).sen nx)
               n = 1,2,3,...
obs. Os valores de xn são convertidos para radianos: 
     xn = 2π.(fração de λ correspondente a xn)
isto é:
     xn = 2π.( xn' - x0' )/( xm' -  x0' )
onde x0' é o valor da variável independente, em qualquer unidade, em que começa um comprimento de onda e
xm' aquele em que termina o comprimento de onda considerado.
De forma análoga se calcula os coeficientes bn, sendo que b0=0 pois sen 0 = 0.
Se a função é simétrica em relação ao eixo x, é dita "função ímpar" e não tem coeficientes de ordem par.
Exemplo:
Determinar os coeficientes de Fourier até o harmônico (a3.cos(3x) + b3.sen(3x))
que se ajuste aos valores da tabela abaixo:
ponto    x      f(x)                         Resposta:
1        1      1.2                           a0/2 = +2.51428571428571
2        2      3.4                           a1 = -0.533186343122966
3        3      2.7                           a2 = -0.494652081939484   
4        4      2.5                           a3 = -0.286447289223281   
5        5      3.0                           b1 = +0.206342995932609   
6        6      3.1                           b2 = +0.634813339311466   
7        7      1.7                           b3 = +0.160820283827478
8        8      1.2                                 
9        9      3.4                                 
10      10      2.7                                 
11      11      2.5
12      12      3.0
sol:
obs: 0.897597901025655 = 2π/(8-1) é o fator de conversão dos valores de x para radianos.
a0 = (2/(8-1)) * ( 1.2 + 3.4 + 2.7 + 2.5 + 3.0 + 3.1 + 1.7 ) = 5.02857142857142
a1 = (2/(8-1))*( 1.2*cos(0.897597901025655*1*(1-1)) + 3.4*cos(0.897597901025655*1*(2-1)) + 2.7*cos(0.897597901025655*1*(3-1)) + 2.5*cos(0.897597901025655*1*(4-1)) + 3.0*cos(0.897597901025655*1*(5-1)) + 3.1*cos(0.897597901025655*1*(6-1)) + 1.7*cos(0.897597901025655*1*(7-1)) )
a2 = (2/(8-1))*( 1.2*cos(0.897597901025655*2*(1-1)) + 3.4*cos(0.897597901025655*2*(2-1)) + 2.7*cos(0.897597901025655*2*(3-1)) + 2.5*cos(0.897597901025655*2*(4-1)) + 3.0*cos(0.897597901025655*2*(5-1)) + 3.1*cos(0.897597901025655*2*(6-1)) + 1.7*cos(0.897597901025655*2*(7-1)) )
a3 = (2/(8-1))*( 1.2*cos(0.897597901025655*3*(1-1)) + 3.4*cos(0.897597901025655*3*(2-1)) + 2.7*cos(0.897597901025655*3*(3-1)) + 2.5*cos(0.897597901025655*3*(4-1)) + 3.0*cos(0.897597901025655*3*(5-1)) + 3.1*cos(0.897597901025655*3*(6-1)) + 1.7*cos(0.897597901025655*3*(7-1)) )
b0 = 0
b1 = (2/(8-1))*( 1.2*sin(0.897597901025655*1*(1-1)) + 3.4*sin(0.897597901025655*1*(2-1)) + 2.7*sin(0.897597901025655*1*(3-1)) + 2.5*sin(0.897597901025655*1*(4-1)) + 3.0*sin(0.897597901025655*1*(5-1)) + 3.1*sin(0.897597901025655*1*(6-1)) + 1.7*sin(0.897597901025655*1*(7-1)) )
b2 = (2/(8-1))*( 1.2*sin(0.897597901025655*2*(1-1)) + 3.4*sin(0.897597901025655*2*(2-1)) + 2.7*sin(0.897597901025655*2*(3-1)) + 2.5*sin(0.897597901025655*2*(4-1)) + 3.0*sin(0.897597901025655*2*(5-1)) + 3.1*sin(0.897597901025655*2*(6-1)) + 1.7*sin(0.897597901025655*2*(7-1)) )
b3 = (2/(8-1))*( 1.2*sin(0.897597901025655*3*(1-1)) + 3.4*sin(0.897597901025655*3*(2-1)) + 2.7*sin(0.897597901025655*3*(3-1)) + 2.5*sin(0.897597901025655*3*(4-1)) + 3.0*sin(0.897597901025655*3*(5-1)) + 3.1*sin(0.897597901025655*3*(6-1)) + 1.7*sin(0.897597901025655*3*(7-1)) )
equação:
f(x) = 2.51428571428571 + -0.533186343122966*cos(1*0.897597901025655*([x] - 1 ) ) +0.206342995932609*sin(1*0.897597901025655*([x] - 1 ) ) + -0.494652081939484*cos(2*0.897597901025655*([x] - 1 ) ) +0.634813339311466*sin(2*0.897597901025655*([x] - 1 ) ) + -0.286447289223281*cos(3*0.897597901025655*([x] - 1 ) ) +0.160820283827478*sin(3*0.897597901025655*([x] - 1 ) )

BibliografiaEditar

  • Matemática para a Engenharia, Homero Pinto Caputo, Ao Livro Técnico S.A., 1969

Interferência de bloqueador de anúncios detectada!


A Wikia é um site grátis que ganha dinheiro com publicidade. Nós temos uma experiência modificada para leitores usando bloqueadores de anúncios

A Wikia não é acessível se você fez outras modificações. Remova o bloqueador de anúncios personalizado para que a página carregue como esperado.

Também no FANDOM

Wiki aleatória